GEORG CANTOR
O Pensador do Infinito
ATIVIDADE DE ANÁLISE REAL
EDUARDO DA SILVA
FABIANA
MARIA FERNANDA
WENDELL PINHEIRO DE SOUZA
INTRODUÇÃO - CONTRIBUIÇÃO PARA A ANÁLISE MATEMÁTICA
Georg Cantor é considerado o estudioso mais importante na história do pensamento sobre o infinito matemático, as suas teorias, levaram ao aparecimento de uma disciplina totalmente estruturada e com métodos diferenciados dentro da matemática, pois a Teoria dos Conjuntos, tem até hoje influência tanto no ensino fundamental e médio, como no universitário. Cantor propõe a noção de infinito real com base na idéia de conjuntos, não restritos à infinidade potencial de limites. Cantor, “começou examinando números, pontos sobre linha, que convergiam para um ponto limite, com o desenrolar das pesquisas, ele se questiona sobre a limitação desses pontos-limites, pois lhe interessava pensar sobre o processo de contrução dos conjuntos derivados a partir dos infinitos..A percepção das correspondências biunívocas entre dois conjuntos foi uma sacada fantástica, para que Cantor consegui-se reconhecer que há tamanhos diferentes de conjuntos infinitos. Uma das maiores revoluções na matemática ocorreu quando Georg Cantor demonstrou a sua teoria de conjuntos transfinitos. Esta revolução tinha sido amplamente adotada em matemática e filosofia, mas a polêmica em torno dela na virada do século, continua a ser de até os dias de hoje de grande interesse. Além da sua influência no desenvolvimento da lógica, a teoria dos conjuntos também exerceu influência profunda no desenvolvimento da matemática do século XX, servindo de base para a Teoria das Funções de Variável, Álgebra, Topologia, Teoria dos grupos e Analise Funcional. Sua influência se estendeu também para a forma moderna como se ensinava matemática para crianças ( chamada, no Brasil de Matemática Moderna), toda baseada na idéia de números como conjuntos. Poderíamos pensar, por exemplo, que as teorias de Cantor, que trouxeram soluções para tantos problemas de longa data, teriam sido imediatamente acolhidas entre os grandes triunfos matemáticos do século, mas infelizmente não foi assim que aconteceu. Foram por muitos desprezadas, ridicularizadas, consideradas até um pouco loucas, e Cantor, esgotado pela terrível contestação, enlouqueceu também.
BIBLIOGRAFIA
Georg Ferninad Ludwing Phillip Cantor nasceu em 1845, na cidade de Saint -Petersburg, Rússia, mas viveu a maior parte de sua vida na Alemanha. Como desde muito cedo revelou talento e gosto pela matemática, o seu pai decidiu que havia de ser um grande engenheiro. Quando fez onze anos a família mudou-se para Frankfurt e Georg foi enviado para o Instituto Superior Politécnico Grand-Ducal para estudar engenharia. Em 1862 Georg viajou para Zurique para continuar os seus estudos, mas voltou para casa ainda nesse ano devido à morte do pai; ingressou em Setembro na Universidade de Berlim, para estudar Matemática, Física e Filosofia. Aí teve como professores matemáticos tão brilhantes como Kummer, Weierstrass e Kronecker. Cantor doutorou-se em 1867, tendo ficado a leccionar Matemática numa escola privada feminina devido à falta de lugares disponíveis na universidade. Só dois anos depois ingressou na Faculdade da Universidade de Halle, uma instituição de ensino pouco prestigiada. Cinco anos depois, com 29 anos de idade, casou com Vally Guttmann, de quem teve 6 filhos; passou uma lua de mel em Interlaken, na Suíça, onde conheceu e se tornou amigo de um outro jovem matemático: Richard Dedekind, que dois anos antes tinha publicado a sua própria teoria sobre os irracionais.
Georg Cantor tinha Leopold Kronecker como seu professor e inimigo na Universidade de Berlim, pois Kronecker vivia contrariando tudo que cantor escrevia. Em 1884, grande parte das teorias de Cantor tinham sido publicadas e quase completamente ignoradas, uma das poucas pessoas que não as ignorou foi um jovem escandinavo chamado Mittag-Leffler. Foi a ele que Cantor confessou todos os seus problemas, escrevendo-lhe durante um ano cerca de uma carta por semana a queixar-se da perseguição por parte de Kronecker. Mas, por essa altura, era já demasiado tarde. Os ataques agressivos de Kronecker tinham-se tornado insuportáveis. Cantor nunca tinha sido muito assertivo, na sua relação com o pai sempre se submeteu docilmente, e agora mais uma vez estava a ser submetido por outro ser humano. Tal como todos os dominados, perdeu completamente a sua auto-estima, ficou profundamente deprimido e perdeu toda a fé em si próprio e no seu trabalho. Na Primavera de 1884, Cantor teve um esgotamento nervoso.
Foram feitas umas tréguas temporárias entre os dois homens e a saúde de Cantor melhorou. Em 1885 era ele próprio outra vez excepto numa coisa: nunca mais escreveu; a sua criatividade parecia ter-se esgotado e durante o resto da sua vida só publicou mais três ensaios.
Os ataques de Kronecker rapidamente recomeçaram, mais ferozes do que nunca: dedicou as suas conferências a devastar as teorias de Cantor, continuou as suas intrigas para o manter afastado em Halle, e eliminou todos os artigos de Cantor do Crelle’s Journal, do qual era editor.
Em 1981 Kronecker morreu e a sua influência maléfica foi desaparecendo gradualmente. Lentamente Cantor começou a receber o reconhecimento que merecia - depois de ter esperado mais de 20 anos. Foi então nomeado membro honorário da London Mathematical Society, eleito membro correspondente da Sociedade de Ciênciasem Gottingen, e em 1904 foi homenageado com uma medalha pela Royal Society of London.
Recordando a sua experiência recente, Cantor estava sempre pronto com uma palavra de apreço ou encorajamento para aqueles homens que continuavam a lutar. Em complemento fundou um jornal, o Deutsche Mathematiker-Vereinigung, como veículo para os trabalhos de jovens investigadores que pudessem não conseguir impor-se nos jornais controlados pelos matemáticos estabelecidos.
Para ele, no entanto o reconhecimento chegou tarde demais; a infelicidade e amargura de tantos anos não podiam ser apagadas por um súbito jorro de fama e glória. Respeitado por todo o mundo, sentiu-se como um estrangeiro no seu próprio país:
Cantor nunca chegou a receber um posto melhor do que aquele que tinha em Halle, pois estava já velho e doente para ir a outro lugar. Os seus ataques nervosos tornaram-se mais freqüentes e mais prolongados, até ter sido obrigado a resignar-se. Com 72 anos de idade, Georg Cantor morreu em um hospital psiquiátrico, no dia 6 de Janeiro de 1918.
CONCLUSÃO
Cantor conseguiu quantificar e dar uma hierarquia aos níveis de infinito. Por incrível que pareça, apesar de sua idéia ser totalmente contra nossa intuição, seu trabalho colocou em bases sólidas a análise de conjuntos, funções e outros elementos que têm caráter contínuo na matemática. A mesma solidez foi dada às ciências, que não sobrevivem hoje sem os cálculos usando números reais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Dauben, Joseph Warren. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. New Jersey, 1979
Garbi. Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
Mortari, Cezar A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora UNESP 2001.
Contador, Paulo Roberto Martins. Matemática – Uma Breve História Vol.I 3ed.
São Paulo: Editora Livraria da Física , 2008.
Teresi, Dick. Descobertas Perdidas.São Paulo: Editora Schwarcz, 2008.
Jorge, Ana Maria Guimarães. Topologia da ação Mental. São Paulo: Editora Annablume, 2006.
REVISTA GALILEU.Eureka :Além do Infinito - EDIÇÃ0 187- FEV 2007
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/frame.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/teoria-dos-conjuntos.htm
George Cantor - Sua Matemática e Filosofia do Infinito
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TRADUÇÃO DA CAPA 
TRADUÇÃO PAGINA 2 -Igualmente não confiável são afirmações de Bell sobre a doença mental de Cantor. Interpretação de Bell merece ser reavaliado, não só porque foi acriticamente aceite por muitos matemáticos e historiadores, incluindo o final de Bertrand Russel, mas porque recentemente descoberto evidências torna possível avaliar a natureza eo significado das repartições de Cantor com mais precisão e de forma coerente com sua biografia e desenvolvimento intelectual. De fato, os ciclos de Cantor de psicose maníaco-depressiva contribuíram de uma forma única e até então insuspeita a sua interpretatiuon próprio da natureza da teoria dos conjuntos transfinitos si (ver Chater 12). Para justificar esta interpretação revista da personalidade do cantor, para explicar o significado de sua depressão maníaca, e sugerir como ambos estavam intimamente ligados muito profundas preocupações teológicas que eram sempre mais alto na mente de Cantor, é necessário ir além de materiais atualmente disponível em versão impressa requisito essencial a sua vida e obra. Lamentavelmente, os documentos inéditos relacionados com a sua família e carreira são menos abundantes do que se poderia esperar, considerando o fato de que a sua importância como um dos maiores matemáticos do mundo, foi reconhecido em sua própria vida e wellbefore sua morte em 1918. No entanto, pouco depois da guerra de mundo I, sua biblioteca foi vendida. Alguns de seus papéis e cartas permaneceram nas mãos dos seus filhos, que continuaram a viver na casa da família em Händelstrasse em Halle, Alemanha (DDR). A, durante a II Guerra Mundial, grande parte da propriedade literária Cantor foi perdido. Antes da guerra, por exemplo, havia vinte carta-livros em que ele tinha redigido o seu correpondence. Mas na casa de 1945 Cantor foi ocupada, a família foi forçada a sair, e depois da ocupação de muitos papéis de Cantor estavam faltando, e só aí a carta de vinte livros podiam ser encontrados. Isso é particularmente lamentável, pois é principalmente através de sua correspondência que é possível estudar a evolução das idéias matemáticas Cantor antes da publicação. Perda da carta-livros, no entanto, não é tão grave quanto poderia ser. Muitas vezes, os matemáticos, a quem escreveu Cantor manteve suas cartas, e muitos destes são preservados em vários arquivos e coleções particulares, é particularmente feliz de que em praticamente todo o período produtivo da carreira do cantor, havia pelo menos (e normalmente só) um matemático para quem ele iria escrever em detalhes sobre seu trabalho e em quem ele confia. É sem dúvida uma reflexão sobre a personalidade de Cantor que suas amizades eram muitas vezes intensa, mas de curta duração relativa. Por exemplo, sua amizade com H.A. Schwarz chegou a um fim prematuro, embora as duas cartas que trocaram no basedoxifeno início dos anos 1870 que Cantor Schwarz deu uma boa dose de incentivo e até mesmo algumas técnicas fundamentais que foram aplicadas com sucesso no início do desenvolvimento de Cantor da teoria dos conjuntos Cantorian são cartas escritas por Cantor para Didekind entre 1872 e 1879. A amizade, porém, caiu pelo caminho, pouco depois, aparentemente por causa do ressentimento de Cantor
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George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Nascimento
3 de Março de 1845São Petersburgo
Falecimento
6 de Janeiro de 1918Halle
Nacionalidade
Russo
Alma mater
Universidade Humboldt de Berlim
Tese
1867: De aequationibus secundi gradus indeterminatis
Orientador(es)
Ernst Kummer e Karl Weierstrass
Conhecido(a) por
Conjunto de Cantor, Poeira de Cantor, Argumento de diagonalização de Cantor, Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder
Prêmio(s)
Medalha Sylvester (1904)
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845 — Halle, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático russo de origem alemã.
Conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos, que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos.
Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho do comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 sua família mudou-se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou no Instituto Federal de Tecnologia de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.
Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração.
Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês chamam-se countable - que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis) (em inglês uncountable - que não se podem contar). Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo (logo, maior que o anterior). Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais.
Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.
Nas palavras de David Hilbert:
"Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."
Conjunto de Cantor
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O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo.
Índice[esconder]
1 Construção
2 Elementos
3 Propriedades
4 Ver também
//
[editar] Construção
Primeiros passos da construção do conjunto de Cantor
A construção do conjunto se faz por indução matemática:
Parte-se do intervalo ;
No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo:
No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo 1:
;
E recursivamente desta forma, no passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-1;
O conjunto de Cantor é definido como a intersecção dos conjuntos An produzidos:
[editar] Elementos
Qualquer número real entre 0 e 1 que pode ser expresso, na base 3, apenas usando-se os dígitos (trits) 0 e 2 é um elemento deste conjunto. Por exemplo, 1/3 = 0,1 (na base 3) pode ser escrito como 1/3 = 0,02222..., logo pertence ao conjunto. 1/2 = 0,1111... (na base 3) não pode, logo não pertence ao conjunto.
Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder
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(Redirecionado de Teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder)
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Em teoria de conjuntos, o Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, assim chamado em homenagem a Georg Cantor, Felix Bernstein e Ernst Schröder, estabelece que se existem funções injetivas f : A → B e g : B → A entre os conjuntos A e B, então existe uma função bijetiva h : A → B. Em termos da cardinalidade dos dois conjuntos, isso significa que se A ≤ B e B ≤ A, então A = B; A e B são ditos "equipolentes". Essa é obviamente uma propriedade muito útil para a ordenação de números cardinais.
Este teorema não depende do axioma da escolha.
[editar] Esboço da demonstração
A ideia é construir uma bijeção h : A → B, a partir das sequências geradas a partir de cada elemento de A ou B ao passar de um conjunto para o outro através da aplicação sucessiva das inversas de f e g.
Ou seja, para cada elemento a de A gera-se uma função , definida por a0 = a, a2n+1 = g-1(a2n) e a2n+2 = f-1(a2n+1).
Note-se que nem sempre existem f-1(x) ou g-1(x); mas, se existe, então é único.
Assim, os elementos de A podem ser classificados em três subconjuntos (cada um deles pode ser vazio): aqueles para os quais Ia é infinito, aqueles para os quais Ia é finito e seu maior elemento é par, e aqueles para os quais Ia é finito e seu maior elemento é ímpar.
A bijeção será construída baseada nesta partição
Qual o tamanho do infinito?
Paulo Gusmão
Doutor em Matemática e professor da Universidade Federal Fluminense
Introdução
Fascinante seria especular sobre a origem da noção de infinito no espírito humano. Teria algo a ver com a percepção da finitude da vida diante do tempo? A percepção da imensidão que nos separa das estrelas? A visão do horizonte como algo inatingível? Existem tribos que só sabem contar até dez. Possuem elas a noção de um infinito? Da eternidade dos espíritos, por exemplo? Não estariam todas essas possíveis origens ligadas ao sentimento primeiro do tempo como uma sucessão de eventos? Se assim o é, o que impede que essa noção se estenda ao processo de contagem? Fato é que em algum momento da história da humanidade, o infinito irrompeu no universo da matemática revelando-se, ao mesmo tempo, alicerce para seu desenvolvimento e fonte de problemas filosóficos ainda sem soluções.
Se pedirmos a uma criança um exemplo de conjunto infinito, provavelmente o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} seria o escolhido. Se pensarmos que os rudimentos do processo de contagem na história do homem datam do paleolítico, há 15 mil anos, e que o conjunto acima, chamado conjunto dos números naturais, é oriundo do desenvolvimento desse processo de contagem, parece razoável dizer que de natural ele não tem nada, embora hoje ele nos seja completamente familiar. É comum vermos, após o primeiro contato com os naturais, crianças disputando entre si a capacidade de dizer números gigantescos onde os termos utilizados são os mais bizarros; não estaria nesse ato a tentativa de aprisionar o infinito dos naturais, dada a incapacidade do espírito de concebê-lo em sua totalidade? Na verdade, esta incapacidade revela-se até mesmo no finitamente grande. Trabalhando no interior do universo finito da matemática, somos capazes de produzir números tão gigantescos que qualquer pessoa se sentiria confusa somente na tentativa de concebê-los em sua representação decimal. Um exemplo é a construção abaixo, devida ao matemático polonês Hugo Steinhauss e ao matemático canadense Leo Moser. Coloquemos , isto é, , coloquemos com um número de triângulos em volta igual a b, por exemplo ; coloquemos com um número de quadrados em volta igual a c. Definimos agora um mega como = com 256 triângulos em volta, isto é, 256256 com 255 triângulos em volta, ou ainda, com 254 triângulos em volta. Não se contentando com esses números absurdamente grandes, Moser continua o esquema com hexágonos, heptágonos etc. O que podemos dizer da existência desses números quando não nos é sequer possível concebê-los? É fato que essa existência não coloca qualquer problema para o matemático profissional, mas podemos realmente dizer alguma coisa a respeito desse número a não ser que ele corresponde a uma enorme potência de 2? Nos é mesmo impossível, por exemplo, conceber seu sucessor imediato!!
O infinito nos é dado então como um todo sem que, entretanto, esse todo seja composto de partes. Esse conceito de infinito, chamado de infinito atual, revoltava Poincaré (Dernières Pensées, p. 131) , que dizia: "Quando eu falo de todos os números inteiros, eu quero dizer todos os números que nós inventamos e todos aqueles que poderemos inventar um dia. Quando eu falo de todos os pontos do espaço, eu quero dizer todos os pontos cujas coordenadas são expressas por números racionais, ou por números algébricos, ou por integrais, ou por toda outra maneira que poderemos inventar. É esse nós poderemos que é o infinito". Para ele, portanto, o infinito existe em potencial. Contrariamente, ultrapassando de longe Leibnitz com seu infinito atual (metafísico), Couturat (De l´infini mathématique, Alcan éd., 1896) não somente dava à matemática o direito de citar mas dava predominância ao infinito atual. Ele dizia: "Os matemáticos podem e sabem se dar tanto grandezas infinitas como finitas e isso porque eles se dão na sua totalidade. Se eu escrevo: 2 = 1 + 1/2 1/4 + 1/8 + ..., 2 representa uma grandeza divisível ao infinito contendo todas as suas partes integrantes. A igualdade é imperfeita ou simbólica do ponto de vista numérico, mas perfeita do ponto de vista geométrico e analítico". O que vemos aqui é que, para Couturat, o lado esquerdo da igualdade representa a totalidade, o absoluto, mas as partes que o constituem (o lado direito) são a imperfeição. Ele estabelece uma hierarquia onde coloca a grandeza, concebida em sua totalidade, acima do número, que seria um procedimento imperfeito para analisar a grandeza. O debate está longe de terminar e vale dizer que, com os trabalhos de Cantor sobre os transfinitos, surgiram outras correntes para acirrar a discussão.
Pode parecer que estas discussões são recentes, mas a história revelou ser o infinito o lugar em que se escondem muitas coisas estranhas e paradoxais. Entre os vários paradoxos envolvendo o infinito, o mais conhecido é o paradoxo de Zenão (século III a.C.) sobre Aquiles e a tartaruga. Este paradoxo afirma que Aquiles não pode alcançar a tartaruga, pois deve, em primeiro lugar, chegar ao ponto do qual a tartaruga acabou de sair, e, portanto, a tartaruga estará sempre à frente.
Fato é que, apesar dos embates ainda sem solução, os matemáticos trabalham com o infinito como sendo um ente dotado de existência (o conceito de existência, aqui, não é o mesmo daquele utilizado com respeito aos objetos de nosso dia-a-dia. Não discutiremos aqui o modo de existência, para os matemáticos, do conceito de infinito.). Operamos com ele, o exploramos, tentamos compreendê-lo. Não seria isso um ato de fé? Em que medida se difere do crente que, admitindo a priori a existência de Deus, parte em sua busca e compreensão? Em Introduction to set Theory, de Hrbacek e Jech, lemos:
Axioma da Infinidade: Existe um conjunto indutivo (isto é, infinito)
Quando os matemáticos dizem que os axiomas em matemáticas devem ser se não autoevidentes ao menos passíveis de um consenso sobre os termos primitivos que os constituem, parece que neste caso estamos num impasse!!
O que pretendemos neste texto é colocar o leitor em contato com o infinito (ou os infinitos?) matemático admitindo tal axioma. Pode parecer contraditório, considerando-se a discussão acima, mas não: essa opção não provém da negligência da importância de uma busca de fundamentação do conceito, mas sim da inquestionável beleza estética e riqueza oriundas da reflexão humana ao se admitir o axioma do infinito. É verdade que a partir dos anos 30 as discussões sobre a natureza do infinito matemático se esvaziaram, muito provavelmente em função de tal fecundidade. Seria essa uma atitute meramente pragmática?
Sobre conjuntos finitos
Vamos iniciar falando de algumas propriedades simples dos conjuntos finitos: imaginemos que a humanidade não é dotada da capacidade de contar e que há um bar onde o cliente só é admitido se houver para ele uma cadeira disponível. Numa noite de bom movimento, o proprietário quer saber se a casa está com sua capacidade esgotada. Admitindo-se que as pessoas não ficam sentadas todo o tempo, como fazer para obter tal informação se ele não sabe contar? Ora, basta para isso que ele peça para que todos se sentem e em seguida observe se sobrou alguma cadeira vazia. Observamos assim que embora o proprietário não saiba contar ele conseguiu, por esse processo de associação (cliente ↔ cadeira), identificar se o conjunto de cadeiras tem ou não o mesmo tamanho que o conjunto de clientes (se existe ou não um cliente para cada cadeira). Digamos que o tamanho dos dois conjuntos seja o mesmo (dizemos, neste caso, que os dois conjuntos estão em correspondência um a um) e que num dado momento os clientes de uma das mesas pediram a conta, pagaram e foram embora. Os clientes que restaram formam um subconjunto do conjunto inicial, evidentemente de menor tamanho, uma vez que existem agora cadeiras vazias. Notem que o que fizemos foi adotar o conjunto de cadeiras como conjunto-referência para determinar o tamanho do conjunto de clientes, e acabamos de mostrar que, dado que a quantidade de cadeiras é finita (mas qualquer), num conjunto finito qualquer (no nosso caso, de clientes), toda parte tem menos elementos que o todo. Admitindo-se agora que o proprietário, nesse dia, após constatar a lotação da casa, permitiu que mais pessoas entrassem no recinto, fica evidente que o tamanho do conjunto de clientes aumentou, visto que o número de cadeiras tornou-se insuficiente, ou seja, o tamanho de um conjunto finito qualquer aumenta ao adicionarmos elementos.
Até agora o que temos dito é bastante óbvio e chega a parecer ingênuo abordarmos tal assunto. Na verdade, a evidência das propriedades de conjuntos finitos descritas acima vem do fato de estarmos impregnados das experiências cotidianas que, desde pequenos, nos colocam em contato com um "mundo finito" onde, mesmo antes de aprendermos a contar, fazemos associações, correspondências, agrupamentos de objetos.
Notem que até o momento não falamos em quantidade de elementos de um conjunto, mesmo porque não sabemos contar, lembram-se? Se soubéssemos e observássemos com um pouco de atenção, veríamos que o processo de contagem de um conjunto, digamos, com n elementos, nada mais é que um processo de correspondência entre os elementos desse conjunto e o conjunto {1, 2, ..., n}. O fato de o símbolo n representar uma quantidade provém de uma estrutura adicional introduzida; quando consideramos um conjunto de elementos de mesma espécie mas distintos, como uma reunião de pessoas, temos imediatamente a ideia de unidade e, consequentemente, a de uma coleção de unidades. Associamos à ideia de unidade o símbolo 1. Ao reunirmos uma pessoa do conjunto com uma outra, representamos tal ato pelo símbolo 1 + 1, que convencionou-se denotar pelo símbolo 2, e assim por diante, ou seja, n representa uma quantidade por ser um acúmulo sucessivo de unidades. Portanto, se voltarmos à nossa situação original, em que não sabemos contar, e se temos uma correspondência um a um entre um determinado conjunto e o conjunto {1, 2, ..., n}, o máximo que podemos dizer é que eles têm o mesmo tamanho; não cabe falar em número de elementos dos conjuntos pois esse processo de quantificar não é, por nós, conhecido. Isso não parece a princípio muito útil, pois, em se tratando de conjuntos finitos, estamos interessados, em geral, em determinar a quantidade de elementos. Entretanto, ao tratarmos de conjuntos infinitos, esta noção de quantidade de elementos se perde, pois o processo de contagem levaria um tempo infinito.
Assim, o que nos interessa é estabelecer a existência de um ou mais infinitos, a partir do conceito tamanho, isto é: partindo de um conjunto infinito como referência, e dado um outro conjunto infinito, será que podemos estabelecer uma correspondência um a um entre esses dois conjuntos? Se a resposta é sim, significa que eles têm o mesmo tamanho, caso contrário concluímos que existem infinitos de tamanhos distintos e, portanto, mais de um infinito.
Conhecemos o infinito?
O conjunto infinito que adotaremos como referência no momento é o chamado conjunto dos números Naturais, representado por N = {1, 2, 3, ..., n, ...} , que é obtido fazendo-se indefinidamente o processo "acúmulo sucessivo de unidades". Vamos agora mostrar algumas propriedades desse conjunto. O exemplo que utilizaremos aqui é conhecido como Hotel de Hilbert. David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, professor em Königsberg, sua cidade natal, e depois em Göttingen de 1895-1929. Ele foi incontestavelmente o chefe da escola matemática alemã do primeiro terço do século XX. Em 1925, numa conferência proferida no encontro da Sociedade de Matemática de Westphalie em memória a Weierstrass, Hilbert formula claramente o conjunto de suas concepções sobre os fundamentos da matemática. Nessa conferência, intitulada Sur l'infini, ele utiliza o modelo do hotel que exploraremos a seguir, para chamar a atenção sobre algumas sutilezas do conceito de infinito na matemática.
Imaginem um hotel com uma infinidade de quartos dispostos horizontalmente, um ao lado do outro e numerados a partir da porta de entrada do hotel com os elementos (e na ordem) do conjunto N. Num feriado prolongado, o gerente viu-se felizmente com o hotel lotado. Para sua surpresa, adentrou a recepção um senhor desejoso de um quarto para se hospedar. O gerente relatou a situação, mas sem sucesso: o digníssimo queria porque queria um quarto. Não sabendo como dar solução ao problema ora instalado, resolveu buscar ajuda com um dos hóspedes, que por acaso era matemático. O hóspede, sem hesitar, lhe disse: Não há problema algum, encontraremos um quarto para o senhor. O gerente, não acreditando no que havia ouvido, imediatamente interpelou: Mas como? Eu não lhe disse que o hotel está com lotação esgotada?! Calmamente, o matemático perguntou: O seu sistema de interfone para os quartos trabalha simultaneamente, ou seja, você pode se comunicar com todos os quartos ao mesmo tempo? Sim, respondeu o gerente, ainda que intrigado. Bem, meu caro, então interfone para todos os hóspedes simultaneamente e peça a cada um que, ao toque do sinal, se mude para o quarto ao lado na ordem crescente de numeração. Neste momento, o gerente entendeu e se deu conta do quão simples era a solução do problema. Como o hóspede do quarto número 1 se mudaria para o 2, o do quarto 2 para o 3 e assim sucessivamente, o quarto número 1 ficaria vago para hospedar o senhor que havia chegado (ver figura 1).
Resolvido o problema, eis que chega nas dependências do hotel um grupo de cinco pessoas à procura de hospedagem. Nesse momento, tendo o gerente já compreendido a ideia, imediatamente interfonou para todos os quartos solicitando que, ao toque do sinal, cada hóspede se deslocasse cinco quartos adiante do seu, na ordem crescente de numeração. Dessa maneira os quartos de números 1 ao 5 ficaram vagos, podendo portanto ser ocupados pelos recém-chegados (ver figura 2).
Cabe mais infinito no infinito?
Mais calmo agora, por ter resolvido todos os problemas, o gerente foi se ocupar de alguns detalhes referentes à compra e estoque de alimentos para poder dar conta das refeições de toda aquela gente. O cardápio do almoço seria carne seca com abóbora e, de sobremesa, doce de mamão. Nesse momento, ele já não se inquietava mais com a chegada ou saída de hóspedes, nem no que diz respeito às refeições pois, em qualquer dos dois casos, o número infinito de refeições preparadas seria exatamente o necessário e suficiente e daria conta de qualquer das duas situações caso se apresentassem, bastando para isso fazer as mesmas correspondências anteriores, só que desta vez entre hóspedes e refeições. Como nem tudo é festa num hotel com uma infinidade de quartos, o gerente é chamado com urgência à recepção por uma recepcionista que, embora tendo acompanhado de perto todo o desenrolar dos fatos, estava a ponto de ter um ataque de nervos. Gaguejando e muito pálida, ela informou que acabara de receber um telefonema do dono do hotel, dizendo que estava para chegar o ônibus do hotel, com um número infinito de lugares, completamente lotado de amigos seus, pessoas da mais alta estirpe, e que ele exigia a hospedagem dos mesmos, nem que para isso fosse necessário esvaziar o hotel.
O que acabamos de ver é que o conjunto dos números naturais tem o mesmo tamanho que uma de suas partes, no caso, tanto do conjunto dos números pares como do conjunto dos números ímpares (ver figura 4). Estranho, né? O fato é que existem tantos pares quanto números naturais, embora o primeiro seja um subconjunto do segundo.
Com o objetivo de não mais incomodar o matemático durante o feriado, o gerente decidiu interpelá-lo a respeito de um problema que, caso se apresentasse de novo, ele não saberia resolver. Caro senhor, disse ele, caso cheguem agora dois, três, quatro ou um número finito n qualquer de ônibus, com uma infinidade de lugares cada um, percebo que fazendo a operação que acabamos de executar, repetidas vezes, consigo, sem problemas, alojar todos os novos hóspedes. Pergunto ao senhor: poderia eu, nesta dada situação, alojar todos os hóspedes dos n ônibus numa só tacada, isto é, sem fazer n vezes a operação feita agora pouco? Sem dúvida, respondeu o matemático. Primeiramente, saiba que, por questões de organização, cada passageiro de cada ônibus possui um crachá indicando a qual ônibus ele pertence e qual poltrona ocupa. Assim, digamos, o passageiro do ônibus de número 5 ocupando a poltrona de número 3 possui um crachá onde está escrito seu nome e o símbolo P5,3(passageiro 5,3); aquele do ônibus de número 7 ocupando a poltrona de número 35 terá no crachá, além do seu nome, o símbolo P7,35, e assim por diante. Além disso, observe que as vagas dos ônibus são dispostas como numa rodoviária, isto é, uma ao lado da outra. Sabendo disso, peça que, ao sinal, todos os passageiros desçam do seu ônibus pela respectiva porta ao lado de sua poltrona e que, feito isso, todos os ônibus se retirem do local, exceto o primeiro. Observe que os passageiros com suas indicações no crachá ficarão dispostos da maneira mostrada abaixo: P1,1 P1,2 P1,3 P1,4...P2,1 P2,2 P2,3 P2,4...P3,1 P3,2 P3,3 P3,4......, ..., ..., ...Pn1 Pn,2 Pn,3 Pn,4...
onde a primeira fila é formada pelos passageiros do ônibus número 1, a segunda pelos passageiros do ônibus número 2 e assim por diante. Note que como o ônibus de número 1 está parado diante da primeira fila, disse o matemático, basta agora que dotemos cada passageiro de um número ímpar e que, ao sinal, ele ocupe a respectiva poltrona no ônibus ali parado. O que você não sabe é que, já tendo sido isso por mim previsto, solicitei que os crachás tivessem no seu verso uma numeração feita da seguinte maneira: o passageiro P1,1 com o número 1, o P1,2 com o número 3, passageiro P2,1 com o número 5, o passageiro P3,1 com o número 7 e assim por diante, seguindo a direção das setas indicadas abaixo.
É claro agora que, com todas as poltronas ímpares ocupadas, basta que o ônibus estacione nos fundos do hotel, visto que os quartos de número ímpar já estão vagos via o procedimento "hóspede do quarto de número n desloca-se para o quarto de número 2n".
O gerente, ainda meio tonto com tudo aquilo, exclamou impressionado: Quer dizer que como o número n de ônibus é qualquer, se chegarem 50, 100 ou 1 milhão de ônibus com uma infinidade de lugares, cada um e todos eles lotados, o tamanho do conjunto de todos esses passageiros é exatamente o mesmo que o conjunto dos números ímpares?! Sim, meu caro, é o que acabamos de ver, disse o matemático. Na verdade, observe que se tivéssemos, em vez de n filas de passageiros, infinitas filas (oriundas de uma infinidade de ônibus), a enumeração por ímpares seguindo as setas poderia também ser feita sem problemas. Isso mostra portanto que uma união infinita de conjuntos infinitos, cada um dos quais do mesmo tamanho que o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3, 4...}, tem o mesmo tamanho que o conjunto dos números ímpares que, por sua vez, tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais. Quer dizer então, disse o gerente, que se todos os hóspedes fizerem de seu quarto uma ligação telefônica para cada um dos outros hóspedes, o conjunto de todas essas ligações tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais? Sim, continuou o gerente, como o conjunto de ligações de cada hóspede tem o mesmo tamanho do conjunto dos naturais, o conjunto de todas as ligações de todos os hóspedes é a união infinita de todos esses conjuntos infinitos, cada um deles de mesmo tamanho que o conjunto dos naturais. Bravo!, exclamou o matemático, essa sua observação não somente mostra que você entendeu o espírito da coisa como também será de grande ajuda para o que vou lhe contar agora. Vamos denotar as ligações feitas por cada hóspede da seguinte maneira: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc. serão as ligações do hóspede do quarto de número 1 para os de número 2, 3, 4, 5 etc.; 2/1, 2/3, 2/4, 2/5 etc. serão aquelas do hóspede do quarto de número 2 para os de número 1, 3, 4, 5 etc.; n/1, n/2, n/3, n/4 etc. serão aquelas do hóspede do quarto de número n para os de número 1, 2, 3, 4, etc.. Procedendo dessa maneira, vemos que todas as ligações foram contempladas. Podemos agora dispor essas ligações em fila como abaixo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...2/1, 2/3, 2/4, 2/5......, ..., ..., ...n/1, n/2, n/3, n/4...
Você pode ver que, utilizando a enumeração feita anteriormente, seguindo as setas mas, agora, em vez de fazê-la usando os números ímpares, usando todos os naturais, obtemos uma correspondência um a um entre todas as ligações e o conjunto dos naturais, o que prova sua afirmação. O interessante disso tudo, prosseguiu o matemático, é que também acabamos de mostrar que o conjunto de todas as frações positivas, chamado conjunto dos números racionais positivos, tem o mesmo tamanho do conjunto dos naturais. É claro que o conjunto dos racionais (todas as frações positivas e negativas) tem o mesmo tamanho de N pois ele é uma união de dois conjuntos (as frações positivas e as negativas), cada um dos quais de mesmo tamanho de N. Uma correspondência um a um entre Q e N pode ser dada, enumerando-se somente com os números ímpares o conjunto das frações negativas e enumerando o conjunto das frações positivas somente com os números pares. O que pretendo tentar agora é convencê-lo de que, a princípio, isso escapa sobremaneira à intuição, isto é, se olharmos com atenção o conjunto dos racionais, teremos uma impressão bastante forte de que este conjunto é maior que o conjunto dos números naturais. Primeiramente, é fácil ver que o subconjunto formado pelas frações da forma 1/n isto é, {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...}, é do mesmo tamanho que o conjunto dos naturais. Até aí nada de mais. Sabemos desde a escola que, além dos racionais, existem números que não são racionais, isto é, números que não podem ser escritos na forma p/q (ou seja, como uma divisão de dois números naturais p e q): são os chamados irracionais. Pode-se mostrar, por exemplo, que √2 é um desses números. A união desses dois conjuntos é conhecida como o conjunto dos números reais positivos e vamos admitir também que podemos representá-lo como sendo o conjunto de todos os pontos de um semirreta cuja origem é representada pelo número 0, conforme a figura 5 abaixo.FIGURA 5
Agora, se a e b são dois números quaisquer (racionais ou não) com a menor do que b, a distância entre eles é o número b - a. Ora, seja q bem grande, de maneira que 1/q seja menor que b - a e considere o conjunto {1/q, 2/q, 3/q, 4/q, ...}. Este conjunto nos dá uma partição da semireta em segmentos de reta de tamanho 1/q (cf. figura 6).FIGURA 6
Assim, necessariamente, um dos elementos desse conjunto está entre a e b pois, caso contrário, teríamos que o segmento entre a e b estaria contido no segmento entre p/q e p+1/q para algum número p, mas isso contradiz o fato de que o segmento entre a e b tem tamanho b - a maior que 1/q.
Observe: o que acabamos de mostrar é que, como a e b são quaisquer, se fixamos a e tomamos b tão próximo de a quanto quisermos, sempre encontraremos um racional entre eles. Ou seja, dado um número qualquer, encontraremos, tão perto dele quanto quisermos, um número racional.
Nesse momento o gerente, completamente impressionado, exclamou: Pelo que o senhor acaba de dizer, os números racionais ocupam praticamente toda a semirreta?! Sendo assim, o tamanho do conjunto dos irracionais deve ser menor que o dos racionais, não é? Você tem razão quanto à sua primeira afirmação, disse o matemático; o termo utilizado por nós para expressar esse seu sentimento é densidade. Dizemos que o conjunto dos racionais é denso no conjunto dos números reais. Quanto à sua segunda colocação...
Quantos infinitos existem?
Nesse momento, o gerente foi de novo chamado com a máxima urgência na portaria do Hotel. Parece que algo grave aconteceu, disse ele ao matemático, seria bom que o senhor me acompanhasse, caso necessitemos de sua orientação. O que houve?, perguntou ele ao chegar à recepção. Sabe os hóspedes amigos do proprietário?, disse a recepcionista. Sim, o que é que tem eles? Você lembra que cada um deles estava acompanhado de uma criança, pois é, elas sumiram!! Como, sumiram?, indagou o gerente.
É isso que estou dizendo, foi um tal do interfone tocar sem parar, um desespero total. Tivemos a informação de que eles foram vistos pela última vez brincando no jardim do infinito. Nesse momento, o gerente relaxou e, com um ar de senhor da situação, disse: Tenho certeza de que todos subiram na árvore com uma infinidade de galhos - seria a única possibilidade de perdê-los de vista. Árvore com uma infinidade de galhos?! Do que você está falando?, retrucou o matemático, Eu, como consultor do Hotel, deveria ser informado de toda e qualquer iniciativa de ocupação de espaço físico!! Quem autorizou o plantio dessa ávore? Foi o próprio dono, devolveu o gerente. Vamos lá, quero ver isso de perto.
Chegando ao jardim, o matemático foi obrigado a sentar-se, de tão pálido que estava. O que está acontecendo?, indagou o gerente, Por que está com essa cara? É somente uma árvore com uma infinidade de galhos! Você sabe muito bem, disse o matemático, que essa espécie de árvore tem a propriedade de que, ao final de cada galho, dois novos galhos se iniciam, um partindo para a direita e outro para a esquerda, e isso indefinidamente. Sim, e daí? Continua sendo somente um número infinito de galhos, retrucou o gerente, Se cada um dos pais subir na árvore, sendo eles em número infinito, todas as crianças serão encontradas. Não!!, gritou o matemático. Admitindo-se que elas percorram qualquer caminho infinito, em tempo finito, mesmo que todas elas sigam o mesmo caminho, a chance de encontrá-las é pequena! Não acredito, você deve estar brincando!, devolveu o gerente. Colocando-se agora mais sério do que nunca, o matemático disse: Vou mostrar que o tamanho do conjunto de todos os caminhos possíveis é maior que a infinidade de pais; sendo assim, mesmo que todos eles saiam à procura de seus filhos por caminhos distintos, sobrará necessariamente uma infinidade de caminhos não percorridos; logo, a chance de todos serem encontrados não é muito boa, você concorda? O que você está me dizendo é que existe um infinito maior que aquele dos naturais?!, perguntou o gerente perplexo. Isso mesmo, meu caro, e é por isso que precisamos encontrar uma boa solução para sairmos dessa, mas antes disso, vou convencê-lo do que falei. Pegando papel e lápis, o matemático desenhou a árvore seguindo a disposição dos galhos como na figura 7.
Resta então mostrar que C é de tamanho maior que o conjunto dos naturais (que é o tamanho do conjunto de pais). Vamos primeiramente mostrar que C não é menor que N. Escolha em C um elemento que chamaremos de x1. Como C é infinito, podemos tomar em C um outro elemento x2 distinto de x1, e, pelo mesmo motivo, um elemento x3 distinto de x1 e x2. Repetindo indefinidamente este argumento, obtemos um subconjunto de C cujos elementos são x1, x2 x3, ..., xn. Claramente este conjunto tem o mesmo tamanho que o conjunto dos naturais, bastando para isso fazer a seguinte correspondência um a um: 1 → x12 → x23 → x3...n → xn...
Note que, segundo este argumento, em lugar de C poderíamos ter tomado qualquer conjunto infinito, isto é: qualquer conjunto infinito contém um subconjunto de mesmo tamanho que o conjunto dos naturais, portanto não existe nenhum conjunto infinito de tamanho menor que o conjunto dos naturais. Vou mostrar agora, disse o matemático, que C é de tamanho maior que os naturais. Para isso, basta mostrar que não é possível estabelecer uma correspondência um a um entre N e C, você concorda? Sim, concordo, respondeu o gerente. Bem, primeiramente, note que fazer uma tal correspondência entre N e qualquer conjunto significa enumerar os elementos desse conjunto, ou seja, dizer qual será o primeiro elemento, o segundo, o terceiro e assim sucessivamente. Podemos dizer que essa correspondência não é nada mais que uma listagem dos elementos do tal conjunto. Sendo assim, basta mostrarmos que em qualquer listagem de C, sempre haverá um elemento de C não contemplado. Considere então uma listagem qualquer, digamos, a representada a seguir: 1 → 0,110010100110...2 → 0,001101111000...3 → 0,111001010001...4 → 0,101010101010......n → 0,0020111100111......
Vou agora exibir um elemento de C que não consta nessa listagem. Considerando os algarismos após a vírgula, vemos que o primeiro algarismo do primeiro elemento é 1, neste caso para obter nosso elemento coloco nesta posição o algarismo 0. O segundo algarismo do segundo elemento sendo 0, coloco nesta posição o algarismo 1. O terceiro algarismo do terceiro elemento sendo 1, coloco 0 nesta posição. O quarto algarismo do quarto elemento sendo 0, coloco 1. O n-ésimo algarismo do n-ésimo elemento sendo, digamos, 0, coloco 1 na n-ésima posição e assim por diante. Afirmo que o elemento acima não está na listagem dada. Por quê?, indagou o gerente. Ora, se estivesse na listagem, ele ocuparia uma posição, ou seja, ele seria o elemento de número, digamos, 245 da lista. Mas o elemento de número 245 possui, como duzentésimo quadragésimo quinto dígito, o número, digamos, 1 e o elemento que construímos tem como dígito, nesta posição, o número 0. Este raciocínio mostra que nosso elemento não pode estar em nehuma posição da lista. Concluímos assim que o infinito de C é maior que o de N.
Que loucura! existem dois infinitos!!, exclamou o gerente. Para mim o infinito era um só, infinito é infinito, ora bolas.
Rá! retrucou o matemático, o que você não sabe é que existe uma infinidade de infinitos distintos.
Como assim?
Você já ouviu falar em George Cantor?, perguntou o matemático.
Não, respondeu o gerente.
Pois é, Cantor (1845-1918), um matemático russo que se naturalizou alemão, é considerado o grande teórico do infinito. Todo esse estudo sobre o tamanho do infinito foi desenvolvido por ele. Ele mostrou, entre outras coisas, que, dado um conjunto infinito qualquer A, se considerarmos o conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos de A, temos um conjunto infinito (note que ele contém todos os subconjuntos formados por um só elemento de A) de tamanho maior que o conjunto A. Por exemplo, no nosso caso, o conjunto P(N) cujos elementos são os subconjuntos de N, tem tamanho maior que N. Na verdade, mostra-se que P(N) tem o mesmo tamanho do conjunto C acima. Se agora tomarmos o conjunto P(C) formado por todos os subconjuntos de C, obteremos um conjunto infinito de tamanho maior que C, e assim por diante. Isso mostra que temos uma sequência de conjuntos infinitos cada um maior que o outro, sendo o menor deles o conjunto N. Cantor deu nome a esses infinitos: são os chamados cardinais transfinitos. Usando uma noção chamada noção de ordem, Cantor obteve outros infinitos aos quais ele deu o nome de ordinais transfinitos [4]. O conjunto C acima é chamado conjunto de Cantor. Na verdade, o conjunto de Cantor foi por ele apresentado usando uma construção completamente diferente, em que ele utilizava o conjunto dos números reais compreendidos entre 0 e 1. Note que da maneira como apresentamos C, podemos pensá-lo também como um subconjunto dos reais entre 0 e 1, com a diferença que todos os elementos estão na verdade entre 0 e 0,111111111111... e onde todos os dígitos na expansão decimal são somente zeros e uns.
Ei, ei, ei!, espera aí, disse o gerente. A gente não tinha visto que os racionais (conjunto das frações) ocupavam praticamente toda a reta dos reais (ou seja, são densos nos reais)?
Sim, e daí?, devolveu o matemático.
Ora, sendo os racionais do mesmo tamanho de N e ocupando quase toda reta real, como é possível, usando somente os reais entre 0 e 1, obter um conjunto, no caso C, maior que N?
Boa pergunta! Lembra que mostramos que tanto os pares como os ímpares têm o mesmo tamanho de N, embora sejam subconjuntos deste? Pois é, o mesmo acontece com os reais R e C. Embora um seja subconjunto do outro, os dois têm o mesmo tamanho. Embora os racionais sejam densos em R, são os irracionais que ditam o tamanho dos reais. O fato é que o conjunto dos irracionais é também denso nos reais e seu tamanho é maior que o conjunto dos racionais (portanto dos naturais). Na verdade ele tem o mesmo tamanho dos reais (e portanto de C) [5] .
Nossa, esquecemos dos meninos!, exclamou o gerente. Os pais já devem estar desesperados! Como vamos achá-los?
Calma, calma!
Como assim? Por que essa calma agora? Inicialmente o senhor estava tão nervoso, dizendo que seria impossível encontrarmos todas as crianças!
É, mas fiz isso só para assustar. Você e o patrão. Espero que da próxima vez ele se lembre de me consultar antes de mandar fazer qualquer coisa aqui no Hotel. Vá lá e diga que estamos com a situação sob controle e que, em breve, eles serão chamados.
Sim senhor, disse o gerente, e assim foi feito.
Ao retornar, o gerente estava ansioso para ver qual seria a solução do matemático para encontrar as crianças.
Vamos lá, continue!, solicitou ele ao matemático.
Bem, vimos que o conjunto de caminhos é maior que o conjunto de pais. Por outro lado, os caminhos considerados são todos os caminhos infinitos possíveis, pois representamos cada um deles por sequências infinitas de zeros e uns (qualquer elemento de C é dessa forma). Imagine que cada uma das crianças pudesse, num tempo finito, percorrer um desses caminhos em "sua totalidade". Neste caso, mesmo que os pais também pudessem fazer o mesmo, num tempo finito, teríamos uma quantidade enorme de caminhos não percorridos, pois o tamanho do conjunto de tais caminhos infinitos é muito maior do que o do conjunto de pais. Foi admitindo essa situação fictícia (poder percorrer um caminho em sua totalidade, num tempo finito) que afirmei serem poucas as chances de encontrarmos todas as crianças. Assim, o que temos em realidade é que, em qualquer instante considerado, cada criança terá percorrido um número finito de galhos. Para achá-las, basta portanto que os pais subam um pouco mais rápido que as crianças. Se é que isso é possível!
Veja mais sobre o Infinito:
http://www.uol.com.br/cienciahoje/che/vol08/infinito/index.htm
http://www.uol.com.br/cienciahoje/che/infinit1.htm
Bibliografia
[1] Amoroso Costa, M. As ideias fundamentais da matemática e outros ensaios. Editora Convívio, 1981, 3º edição.
[2] Davis, P. J./ Hersh, R. L'univers Mathematique. Gauthier-Villards, 1985
[3] Dugas, R. Essai sur l'incompréhension mathématique. Librarie Vuibert, 1940.
[4] Cunha, M.O., Lopes, C.N., Santos, A.B.A. Uma introdução ao estudo dos números transfinitos Pré-publicação IM Uff
[5] Gusmão, P. O tudo e o nada. Em preparação
[6] Poincaré, H. Dernières Pensées. Flammarion, 1913.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nasceu no dia 3 de março de 1845 em St. Petesburg, Rússia, e morreu no dia 6 de janeiro de 1918 em Halle, Alemanha. Ele fundou a teoria dos conjuntos e introduziu o conceito de números infinitos com a sua descoberta de números cardinais. Ele também avançou o estudo das séries trigonométricas. Cantor freqüentou a Universidade de Zürich por um tempo em 1862; entretanto, foi para a Universidade de Berlim, onde assistiu a conferências de Weierstrass, Kummer e Kronecker. Ele recebeu seu doutorado em 1867 de Berlim e aceitou uma posição na Universidade de Halle em 1869, onde permaneceu até se aposentar em 1913. Seus primeiros documentos (1870-1872) mostraram a influência do ensino de Weierstrass, lidando com série trigonométrica. Em 1872 ele definiu números irracionais em termos de seqüências convergentes de números racionais. Em 1873, provou a contabilidade dos números racionais, mostrando que eles podem ser colocados em correspondência com os números naturais. Liouville estabeleceu em 1851 que os números transcendentais existem. Vinte anos depois, Cantor mostrou que, em certo sentido, "quase todos" os números são transcendentais. O próximo relato ao trabalho de Cantor em teoria dos conjuntos transfinita foi sua definição de continuidade. O trabalho de Cantor foi atacado por muitos matemáticos, ataque que foi conduzido pelo próprio professor de Cantor, Kronecker. Cantor nunca duvidou da verdade absoluta de seu trabalho, apesar da descoberta dos paradoxos da teoria dos conjuntos. Ele foi apoiado por Dedekind, Weierstrass e Hilbert, Russell e Zermelo. Hilbert descreveu o trabalho de Cantor como o melhor produto de gênio matemático e uma das realizações supremas da atividade humana puramente intelectual. Um evento principal planejado em Halle para marcar o 70º aniversário de Cantor em 1915 teve de ser cancelado por causa da guerra. Cantor recebeu um grau honorário pela Universidade de St. Andrews em 1911. Ele morreu em uma clínica psiquiátrica em Halle em 1918.
quantos pontos tem uma reta? Como? Vença o susto inicial e lembre-se de que uma reta é formada de pontos — não é isto que nos ensinam na escola? Certo, certo ... Mas são pontos demais, uma infinidade. Como é possível contar uma coleção infinita? Aliás, faz sentido distinguir um infinito do outro? E o que é o infinito? Existem mesmo coleções infinitas? Você pode encarnar o espírito de Aristóteles e ir adiante. Por exemplo, a reta é a imagem arquetípica da continuidade; não exibe saltos ou buracos. Um ponto, por sua vez, é uma entidade discreta e isolada; talvez seja uma mônada, um átomo ou um infinitésimo. Como pode um contínuo ser formado de grãos indivisíveis?
Questões como essas atravessaram os tempos atordoando gigantes do pensamento como Leibniz e Kant (que responderão "não" à maioria delas), mas só foram depuradas do misticismo, cientificamente esclarecidas e completamente resolvidas (acredita-se) no último terço do século XIX com a revolucionária teoria dos conjuntos, concebida e desenvolvida por Bolzano, Dedekind e, principalmente, Georg Cantor. A grande realização de Cantor foi a elaboração da primeira teoria matematicamente fecunda daquilo que Aristóteles chamou de "infinito atual" — uma multidão interminável de coisas pensadas como simultaneamente reunidas e coexistentes. Aparentemente desconhecido nas civilizações antigas do Egito, Mesopotâmia e Índia, esse infinito par excellence causou estardalhaço e trauma no pensamento grego através dos "paradoxos de Zenão". Por esse motivo (e outros), Aristóteles achou que era necessário disciplinar o raciocínio. Assim, inventou a Lógica e fez do infinito um tabu. Tradições às favas, Cantor ousou discernir, comparar e hierarquizar os infinitos. Tornando explícita e matematicamente manipulável a atividade imemorial de "contar", ele estendeu-a aos conjuntos infinitos, viu que nem todos são iguais, e que um infinito pode ser menor do que outro. Como os números 1, 2, 3, ... só permitem a contagem de coleções finitas, ele criou um novo tipo de número transfinito e pretendeu catalogar todos os conjuntos infinitos e atribuir-lhes um tamanho em termos desses novos números.
Dois tipos de infinito foram importantes no trabalho de Cantor. O primeiro é a base da sua hierarquia, o infinito enumerável, característico dos conjuntos cujos elementos podem ser colocados lado a lado com os números 1, 2, 3, ... simultaneamente. O segundo é o infinito do contínuo, próprio de conjuntos como a reta (a reta infinita das aulas de Geometria). Cantor descobriu que o infinito do contínuo é maior do que o infinito enumerável — um resultado que possui conseqüências matemáticas de longo alcance. No ambiente dessa teoria, a nossa questão inicial ("Quantos pontos tem uma reta?") torna-se: que lugar ocupa o contínuo na hierarquia de Cantor? Resposta: o segundo, logo após o enumerável. Mas isto foi um artigo de fé para Cantor até os seus últimos dias. Na verdade, ele nunca conseguiu provar que não pode haver um infinito intermediário entre esses dois, de modo que o seu palpite entrou para a história como a Hipótese do Contínuo. Apesar desse fracasso momentâneo, a introdução do conceito abstrato de conjunto e o estudo dos conjuntos infinitos constituíram uma das maiores conquistas intelectuais do século XIX. A tensão constante entre a aritmética e a geometria, entre o discreto e o contínuo, gerada pela primeira crise na Matemática (a descoberta dos números irracionais pela escola de Pitágoras), rompera-se pela primeira vez, mergulhada num esquema racional único que permitiu sintetizar um "contínuo aritmético" decente e solucionar os paradoxos de Zenão sem pressupor os antigos e problemáticos infinitésimos — assim como a Teoria da Relatividade fundiu a eletricidade e o magnetismo e explicou as ondas de Maxwell sem o fantasma do éter.
Nenhuma revolução é pacífica. Cantor encontrou opositores ferrenhos e até mesmo hostis. Seu arquiinimigo intelectual, Leopold Kronecker, rejeitou filosoficamente a introdução de entidades transfinitas na Matemática argumentando que "Deus criou os inteiros; o resto é obra do homem". Pode ser que Deus tenha se sentido tocado pela mão do homem quando Cantor mordeu o fruto proibido do infinito, mas, de qualquer modo, o castigo não tardou. Pelo fim do século XIX, enquanto alguns matemáticos começavam a apreciar, aplicar e estender as idéias de Cantor, outros ... descobriam contradições! O próprio Cantor descobriu (1895) que não poderia existir algo como o conjunto de todos os conjuntos: tal existência contradizia um fato básico provado por ele mesmo, segundo o qual não há um infinito maior do que todos os outros. Investigando a anomalia da existência de coleções que recusavam-se a existir, Bertrand Russell encontrou (1901) um paradoxo ainda mais assombroso nos fundamentos da própria Lógica, destruindo por completo o atraente programa de Dedekind-Frege-Peano (mostrar que toda a Matemática pode ser construída partindo de princípios "puramente" lógicos aplicados a conjuntos). Este foi o início da "crise dos fundamentos" da Matemática do século XX.
fonte:http://www.gregosetroianos.mat.br/Reports/EM.htm
Mas, o que o sapo não sabe (assim como muita gente) é que o infinito não existe. Não existe o infinitamente pequeno nem o infinitamente grande, e nem sequer o tempo infinito. O conceito de infinito serve apenas para nos indicar que há algo de errado em nossa forma de pensar um problema ou de conceber uma idéia.
Georg Cantor Biografia
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (March 3, 1845 – January 6, 1918) was a German mathematician who is best known as the creator of modern set theory. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 de março de 1845 - 6 de janeiro de 1918) foi um matemático alemão que é mais conhecido como o criador da teoria dos conjuntos modernos. He is recognized by mathematicians for having extended set theory to the concept of transfinite numbers, including the cardinal and ordinal number classes. Ele é reconhecido pelos matemáticos, por ter estendido conjunto de teoria para o conceito de números transfinitos, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais. Cantor is also known for his work on the unique representations of functions by means of trigonometric series (a generalized version of a Fourier series). Cantor também é conhecido por seu trabalho sobre as representações originais de funções por meio de séries trigonométricas (uma versão generalizada de uma série de Fourier). He was born in Saint Petersburg Russia, the son of a Danish merchant, George Waldemar Cantor, and a Russian musician, Maria Anna Böhm. Ele nasceu em São Petersburgo, Rússia, filho de um comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e uma música russa, Maria Anna Böhm. In 1856 the family moved to Germany and he continued his education in German schools, earning his doctorate from the University of Berlin in 1867. Em 1856 a família se mudou para a Alemanha e ele continuou sua educação em escolas alemãs, ganhando o seu doutorado na Universidade de Berlim, em 1867. Cantor recognized that infinite sets can have different sizes, distinguished between countable and uncountable sets and proved that the set of all rational numbers Q is countable while the set of all real numbers R is uncountable and hence strictly bigger. Cantor reconheceu que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, a distinção entre conjuntos contáveis e incontáveis e provou que o conjunto de todos os números racionais Q é contável, enquanto o conjunto de todos os números reais R é incontável e, portanto, estritamente maior. The original proof of this, devised in December 1873 and published in early 1874, used a moderately complicated reduction argument in which one starts with a countable list of real numbers and an interval on the real line. A prova original deste, concebido em dezembro de 1873 e publicado no início de 1874, usou um argumento de redução moderada complicada em que se inicia com uma lista enumerável de números reais e um intervalo na reta real. Then, one takes the first two elements from the list that are in the interval, and forms an interval from that. Em seguida, toma um dos dois primeiros elementos da lista que estão no intervalo, e formas de um intervalo do que isso. Exhausting onward, we find that there exists an element that is not in the list. Avante esgotar, nós achamos que existe um elemento que não está na lista. His later 1891 proof uses his celebrated diagonal argument. Sua posterior à prova de 1891 usa sua célebre argumento diagonal. In his later years, he tried in vain to prove the continuum hypothesis. Em seus últimos anos, ele tentou em vão provar a hipótese do contínuo. By 1897, he had discovered several paradoxes in elementary set theory. Em 1897, ele descobriu vários paradoxos na teoria dos conjuntos elementares. He also invented the symbol today used to represent all real numbers. Ele também inventou o símbolo hoje usado para representar todos os números reais. Throughout the second half of his life he suffered from bouts of depression, which severely affected his ability to work and forced him to become hospitalized repeatedly. Ao longo da segunda metade de sua vida, ele sofria de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho eo forçou a ficar hospitalizado várias vezes. This recurrent depression would probably be diagnosed as bipolar disorder today. Esta depressão recorrente provavelmente seria diagnosticado como transtorno bipolar hoje. Indeed, one can easily see this degeneration in his publication of a verification of Goldbach's conjecture for all integers less than 1000 (a verification up to 10000 had been published decades before). De fato, pode-se ver facilmente essa degeneração em sua publicação de uma verificação da conjectura de Goldbach para todos os inteiros inferiores a 1000 (uma verificação de até 10000 havia sido publicada décadas antes). He started to publish about literature, attempting to prove that Francis Bacon was the true author of Shakespeare's works, and religion in which he developed his concept of the Absolute Infinite which he equated with God. Ele começou a publicar sobre literatura, tentando provar que Francis Bacon foi o verdadeiro autor das obras de Shakespeare, e de religião na qual ele desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava com Deus. He was impoverished during World War I and died in a mental hospital in Halle, Germany. Ele era pobre, durante a I Guerra Mundial e morreu em um hospital psiquiátrico em Halle, na Alemanha. Cantor's innovative mathematics faced significant resistance, especially by Leopold Kronecker, Hermann Weyl, LEJ Brouwer, Henri Poincaré and Ludwig Wittgenstein. Matemática inovadora Cantor enfrentaram uma resistência significativa, especialmente por Leopold Kronecker, Hermann Weyl, LEJ Brouwer, Henri Poincaré e Ludwig Wittgenstein. The vast majority of working mathematicians accept Cantor's work on transfinite sets and recognize it as a paradigm shift of major importance. A grande maioria dos matemáticos trabalhando aceitar trabalhos de Cantor sobre conjuntos transfinitos e reconhecê-lo como uma mudança de paradigma de grande importância. (See intuitionism and infinity) (Veja intuicionismo e infinidade) "No one shall expel us from the Paradise that Cantor has created." "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou." David Hilbert David Hilbert
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Mas afinal, o que é um paradoxo?
Em sentido amplo, «paradoxo» significa o que é «contrário à opinião recebida e comum», ou à opinião admitida como válida.
Em Filosofia, paradoxo designa o que é aparentemente contraditório, mas que apesar de tudo tem sentido.
Em Matemática, fala-se muitas vezes de paradoxo matemático ou paradoxo lógico, ou seja, de uma contradição deduzida no seio dos sistemas lógicos e das teorias matemáticas.
No entanto, as fronteiras do conceito de paradoxo não estão muito bem definidas. As ideias de conflito ou de dificuldade insuperável parecem acompanhar de forma estável a ideia de paradoxo. Mas, demasiado gerais, elas podem servir também para caracterizar «antinomia» (que originariamente significava conflito entre duas leis) ou «aporia» («caminho sem saída»).
Um paradoxo lógico consiste em duas proposições contrárias ou contraditórias derivadas conjuntamente a partir de argumentos que não se revelaram incorrectos fora do contexto particular que gera o paradoxo. Ou seja, partindo de premissas geralmente aceites e utilizadas, é (pelo menos aparentemente) possível, em certas condições específicas, inferir duas proposições que ou afirmam exactamente o inverso uma da outra ou não podem ser ambas verdadeiras.
Os paradoxos são conhecidos e discutidos desde a antiguidade e o seu aparecimento tem impulsionado, em vários casos, um estudo mais rigoroso e profundo dos fundamentos da matemática.
Os paradoxos mais conhecidos:
Paradoxo de Burali-Forti
Trata-se de um paradoxo da teoria dos conjuntos. Sabe-se que a toda a boa ordem corresponde um único número ordinal . Também se sabe que todo o segmento inicial de ordinais forma uma boa ordem cujo número ordinal correspondente excede todos os ordinais desse conjunto. Considere-se a colecção de todos os ordinais. Esta colecção é uma boa ordem e, portanto, corresponde-lhe um ordinal A . Logo, A excede todos os ordinais e, em particular, excede-se a si próprio, o que é uma contradição.
Na raiz deste paradoxo está o uso irrestrito do princípio da abstracção, o qual permite formar o conjunto A .
Paradoxo de Cantor
Paradoxo de Cantor é o paradoxo da teoria dos conjuntos que se obtém devido a considerar-se a cardinalidade do conjunto V de todos os conjuntos. Por um lado, esta cardinalidade não pode ser inferior à cardinalidade do conjunto das partes de V, pois todas as partes de V são conjuntos e. portanto, formam um subconjunto de V. Por outro lado, o Teorema de Cantor diz – precisamente – que a cardinalidade de um qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto.
Na raiz deste paradoxo está também o uso irrestrito do princípio da abstracção , o qual permite formar o conjunto
Paradoxo do Mentiroso, de Epiménides ou do Cretense
Epiménides é cretense e afirma que todos os cretenses mentem.
Se Epiménides for cretense e se todos os cretenses mentem então, quando Epiménides afirma:
Todos os cretenses mentem
Afirma uma proposição verdadeira. Portanto Epiménides não mente quando afirma que todos os cretense, incluindo Epiménides, mentem. V.
Em consequência:
1- Epiménides mente se e só se não mente (isto é, diz a verdade)
2- Epiménides não mente (isto é, diz a verdade) se e só se mente.
Antinomia
Muitas vezes, usam-se as palavras paradoxo e antinomia como sinónimos ou então consideram-se as antinomias como uma classe especial de paradoxos: os resultantes de uma contradição entre duas proposições, em que cada uma delas é racionalmente defensável.
De uma forma geral, antinomia designa um conflito entre duas ideias, proposições, atitudes, etc.. Fala-se, por exemplo, de antinomia entre fé e razão, entre amor e dever, entre moral e política. Num sentido mais restrito, antinomia designa um conflito entre duas leis.
O termo antinomia é, por vezes, utilizado para designar um conflito entre duas proposições, ou entre as consequências que delas advêm. A antinomia de duas proposições difere da contrariedade. Duas proposições podem ser contrárias sem que constituam uma antinomia, no entanto, ela surge quando se pretende provar a validade de cada uma delas.
Especificamente, emprega-se o termo antinomia dentro da crítica Kantiana do sistema de ideias cosmológicas na Crítica da Razão Pura (1781). Kant (1724-1804) fala da «antinomia da razão pura que consiste em usar ideias transcendentes com o fim de obter conhecimentos relativos ao mundo».Kant salienta que "Uma tese dialéctica da razão pura deverá, por consequência, possuir algo que a distinga de todas as proposições sofísticas e é o seguinte: que não se ocupe de uma questão arbitrária, levantada apenas por capricho, mas de um problema que se depara necessariamente à razão humana na sua marcha; e, em segundo lugar, que apresente, como proposição contrária, não uma aparência artificial que logo desaparece desde que como tal se examina, mas uma aparência natural e inevitável que, mesmo quando já não engana, continua ainda a iludir, embora não a enredar, e que, por conseguinte, pode tornar-se inofensiva sem nunca poder ser erradicada." 2 Kant dá uma lista de quatro antinomias, divididas em dois grupos: antinomias matemáticas e antinomias dinâmicas.
1ª AntinomiaTese: "O mundo tem um começo no tempo e é também limitado no espaço."Antítese: "O mundo não tem começo nem limites no espaço; é infinito tanto no tempo como no espaço."
2º AntinomiaTese: "Toda a substância composta, no mundo, é constituída por partes simples e não existe nada mais que o simples ou o composto pelo simples."Antítese: "Nenhuma coisa composta, no mundo, é constituída por partes simples, nem no mundo existe nada que seja simples."
3ª AntinomiaTese: "A casualidade segundo as leis da natureza não é a única de onde podem ser derivados os fenómenos do mundo no seu conjunto. Há ainda uma casualidade pela liberdade que é necessário admitir para os explicar."Antítese: "Não há liberdade, mas tudo no mundo acontece unicamente em virtude das leis da natureza."
4ª AntinomiaTese: "Ao mundo pertence qualquer coisa que, seja como sua parte, seja como sua causa, é um ser absolutamente necessário."Antítese: "Não há em parte alguma um ser absolutamente necessário, nem no mundo, nem fora do mundo, que seja a sua causa."
Contradição
A noção de contradição é, geralmente estudada sob a forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «princípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enuncia-se do seguinte modo:
«É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enunciado declarativo.
O primeiro pensador que apresentou este princípio de forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração, sem poderem ser demonstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «noção comum», usada para a prova de algumas conclusões. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógica sequencial, que se enuncia do seguinte modo: ¬(p Ù ¬p)
e que se chama geralmente de lei de contradição. No terceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar inferências lógicas.
As discussões em torno do princípio de contradição têm diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que, no processo dialéctico da sua evolução, a realidade supera, transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade.
Contraditório
relação de oposição que se dá entre proposições contraditórias, é a que se dá entre as proposições A-O e E-I. Segundo a relação de oposição contraditória, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.Portanto:
Se A é verdadeira, O é falsa.Se A é falsa, O é verdadeira.Se E é verdadeira, I é falsa.Se E é falsa, I é verdadeira.
A contradição respeita a proposições, não a ideias. As ideias não são contraditórias entre si; podem ser contraditórias apenas as proposições em que se afirma ou nega algo.
Para saber mais sobre o significado das proposições A, E, I, O clique aqui. (página dos nossos colegas: Gonçalo e Cláudia)
Absurdo
Absurdo significa contrário à razão. Habitualmente, chamamos absurdo ao que está fora do considerado «normal»ou que está contra ou se afasta do sentido «comum».
É frequente falar-se de proposições absurdas ou crenças absurdas, com efeito, podemos conceber crenças absurdas e expressá-las em proposições que não têm um aspecto absurdo.
É também frequente dar um sentido lógico –ou se quisermos, ilógico- a "absurdo", equiparando absurdo a ilógico. Neste sentido, surge a expressão "Redução ao absurdo", que designa um tipo de raciocínio, que consiste em provar uma proposição p, assumindo a falsidade de p e demonstrando que da falsidade de p se deduz uma proposição contraditória com p.
Há, no entanto, uma outra acepção de absurdo, estritamente ligada a sem sentido. Por exemplo, quando falamos de um rectângulo redondo, um triângulo com quatro lados, substâncias imateriais, etc. estamos a falar de coisas sem sentido. Segundo alguns autores, estas situações não traduzem um erro mas antes uma situação em que as palavras carecem de significação, isto é, são absurdas.
1- Mora, J. F.(1986). Dicionário de Filosofia. Barcelona: Alianza Editorial.
2- Kant, I. (1985). Crítica da Razão Pura. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, p. 389.
Fonte Olga Pombo - opombo@fc.ul.pt
http://www.fisica.net/historia/o_que_e_um_paradoxo.php