Bibliografia



Georg Cantor
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George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Nascimento
3 de Março de 1845São Petersburgo
Falecimento
6 de Janeiro de 1918Halle
Nacionalidade
Russo
Alma mater
Universidade Humboldt de Berlim
Tese
1867: De aequationibus secundi gradus indeterminatis
Orientador(es)
Ernst Kummer e Karl Weierstrass
Conhecido(a) por
Conjunto de Cantor, Poeira de Cantor, Argumento de diagonalização de Cantor, Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder
Prêmio(s)
Medalha Sylvester (1904)
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845Halle, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático russo de origem alemã.
Conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos, que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos.
Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho do comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 sua família mudou-se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou no Instituto Federal de Tecnologia de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.
Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração.
Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês chamam-se countable - que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis) (em inglês uncountable - que não se podem contar). Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo (logo, maior que o anterior). Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais.
Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.
Nas palavras de David Hilbert:
"Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou."
http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

Conjunto de Cantor
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O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo.
Índice[esconder]
1 Construção
2 Elementos
3 Propriedades
4 Ver também
//
[editar] Construção

Primeiros passos da construção do conjunto de Cantor
A construção do conjunto se faz por indução matemática:
Parte-se do intervalo ;
No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo:
No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo 1:
;
E recursivamente desta forma, no passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-1;
O conjunto de Cantor é definido como a intersecção dos conjuntos An produzidos:
[editar] Elementos
Qualquer número real entre 0 e 1 que pode ser expresso, na base 3, apenas usando-se os dígitos (trits) 0 e 2 é um elemento deste conjunto. Por exemplo, 1/3 = 0,1 (na base 3) pode ser escrito como 1/3 = 0,02222..., logo pertence ao conjunto. 1/2 = 0,1111... (na base 3) não pode, logo não pertence ao conjunto.
Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder
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(Redirecionado de Teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder)
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Em teoria de conjuntos, o Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, assim chamado em homenagem a Georg Cantor, Felix Bernstein e Ernst Schröder, estabelece que se existem funções injetivas f : A → B e g : B → A entre os conjuntos A e B, então existe uma função bijetiva h : A → B. Em termos da cardinalidade dos dois conjuntos, isso significa que se A ≤ B e B ≤ A, então A = B; A e B são ditos "equipolentes". Essa é obviamente uma propriedade muito útil para a ordenação de números cardinais.
Este teorema não depende do axioma da escolha.
[editar] Esboço da demonstração
A ideia é construir uma bijeção h : A → B, a partir das sequências geradas a partir de cada elemento de A ou B ao passar de um conjunto para o outro através da aplicação sucessiva das inversas de f e g.
Ou seja, para cada elemento a de A gera-se uma função , definida por a0 = a, a2n+1 = g-1(a2n) e a2n+2 = f-1(a2n+1).
Note-se que nem sempre existem f-1(x) ou g-1(x); mas, se existe, então é único.
Assim, os elementos de A podem ser classificados em três subconjuntos (cada um deles pode ser vazio): aqueles para os quais Ia é infinito, aqueles para os quais Ia é finito e seu maior elemento é par, e aqueles para os quais Ia é finito e seu maior elemento é ímpar.
A bijeção será construída baseada nesta partição

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