Paradoxo de Cantor

quantos pontos tem uma reta? Como? Vença o susto inicial e lembre-se de que uma reta é formada de pontos — não é isto que nos ensinam na escola? Certo, certo ... Mas são pontos demais, uma infinidade. Como é possível contar uma coleção infinita? Aliás, faz sentido distinguir um infinito do outro? E o que é o infinito? Existem mesmo coleções infinitas? Você pode encarnar o espírito de Aristóteles e ir adiante. Por exemplo, a reta é a imagem arquetípica da continuidade; não exibe saltos ou buracos. Um ponto, por sua vez, é uma entidade discreta e isolada; talvez seja uma mônada, um átomo ou um infinitésimo. Como pode um contínuo ser formado de grãos indivisíveis?
Questões como essas atravessaram os tempos atordoando gigantes do pensamento como Leibniz e Kant (que responderão "não" à maioria delas), mas só foram depuradas do misticismo, cientificamente esclarecidas e completamente resolvidas (acredita-se) no último terço do século XIX com a revolucionária teoria dos conjuntos, concebida e desenvolvida por Bolzano, Dedekind e, principalmente, Georg Cantor. A grande realização de Cantor foi a elaboração da primeira teoria matematicamente fecunda daquilo que Aristóteles chamou de "infinito atual" — uma multidão interminável de coisas pensadas como simultaneamente reunidas e coexistentes. Aparentemente desconhecido nas civilizações antigas do Egito, Mesopotâmia e Índia, esse infinito par excellence causou estardalhaço e trauma no pensamento grego através dos "paradoxos de Zenão". Por esse motivo (e outros), Aristóteles achou que era necessário disciplinar o raciocínio. Assim, inventou a Lógica e fez do infinito um tabu. Tradições às favas, Cantor ousou discernir, comparar e hierarquizar os infinitos. Tornando explícita e matematicamente manipulável a atividade imemorial de "contar", ele estendeu-a aos conjuntos infinitos, viu que nem todos são iguais, e que um infinito pode ser menor do que outro. Como os números 1, 2, 3, ... só permitem a contagem de coleções finitas, ele criou um novo tipo de número transfinito e pretendeu catalogar todos os conjuntos infinitos e atribuir-lhes um tamanho em termos desses novos números.
Dois tipos de infinito foram importantes no trabalho de Cantor. O primeiro é a base da sua hierarquia, o infinito enumerável, característico dos conjuntos cujos elementos podem ser colocados lado a lado com os números 1, 2, 3, ... simultaneamente. O segundo é o infinito do contínuo, próprio de conjuntos como a reta (a reta infinita das aulas de Geometria). Cantor descobriu que o infinito do contínuo é maior do que o infinito enumerável — um resultado que possui conseqüências matemáticas de longo alcance. No ambiente dessa teoria, a nossa questão inicial ("Quantos pontos tem uma reta?") torna-se: que lugar ocupa o contínuo na hierarquia de Cantor? Resposta: o segundo, logo após o enumerável. Mas isto foi um artigo de fé para Cantor até os seus últimos dias. Na verdade, ele nunca conseguiu provar que não pode haver um infinito intermediário entre esses dois, de modo que o seu palpite entrou para a história como a Hipótese do Contínuo. Apesar desse fracasso momentâneo, a introdução do conceito abstrato de conjunto e o estudo dos conjuntos infinitos constituíram uma das maiores conquistas intelectuais do século XIX. A tensão constante entre a aritmética e a geometria, entre o discreto e o contínuo, gerada pela primeira crise na Matemática (a descoberta dos números irracionais pela escola de Pitágoras), rompera-se pela primeira vez, mergulhada num esquema racional único que permitiu sintetizar um "contínuo aritmético" decente e solucionar os paradoxos de Zenão sem pressupor os antigos e problemáticos infinitésimos — assim como a Teoria da Relatividade fundiu a eletricidade e o magnetismo e explicou as ondas de Maxwell sem o fantasma do éter.
Nenhuma revolução é pacífica. Cantor encontrou opositores ferrenhos e até mesmo hostis. Seu arquiinimigo intelectual, Leopold Kronecker, rejeitou filosoficamente a introdução de entidades transfinitas na Matemática argumentando que "Deus criou os inteiros; o resto é obra do homem". Pode ser que Deus tenha se sentido tocado pela mão do homem quando Cantor mordeu o fruto proibido do infinito, mas, de qualquer modo, o castigo não tardou. Pelo fim do século XIX, enquanto alguns matemáticos começavam a apreciar, aplicar e estender as idéias de Cantor, outros ... descobriam contradições! O próprio Cantor descobriu (1895) que não poderia existir algo como o conjunto de todos os conjuntos: tal existência contradizia um fato básico provado por ele mesmo, segundo o qual não há um infinito maior do que todos os outros. Investigando a anomalia da existência de coleções que recusavam-se a existir, Bertrand Russell encontrou (1901) um paradoxo ainda mais assombroso nos fundamentos da própria Lógica, destruindo por completo o atraente programa de Dedekind-Frege-Peano (mostrar que toda a Matemática pode ser construída partindo de princípios "puramente" lógicos aplicados a conjuntos). Este foi o início da "crise dos fundamentos" da Matemática do século XX.
fonte:http://www.gregosetroianos.mat.br/Reports/EM.htm

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